四元数

Keywords: 四元数, 1843年, ウィリアム・ローワン・ハミルトン, ノルム空間, ベクトル空間, 交換法則, 体 (数学), 八元数, 共役複素数

数学において四元数（しげんすう、クオータニオン、quaternion）とは、以下の条件を満たすような 3 つの虚数単位 i, j, k を持ち、4 つの実数 x, y, z, w を用いて x + yi + zj + wk と表記される数のことである。

四元数は発見者ウィリアム・ローワン・ハミルトン（1843年）の名前にちなんでハミルトン数とも呼ばれる。四元数全体の成す集合はしばしば H または $\mathbb{H}$ と書かれる。

絶対値が 1 であるような四元数を、単位四元数あるいは単位クオータニオンとよぶ。単位クォータニオンはその虚部を 3 次元空間内の点と同一視するとき、3 次元空間上の回転と見ることができる。また特に回転の合成は四元数の積として表れる。そのため、四元数はコンピューターグラフィックス、人工衛星の姿勢制御などに応用されている。

定義

四元数全体の成す集合 H には、実数全体の成す体 R 上の {1, i, j, k} を基底とする 4 次元ベクトル空間としての構造に加えて、次のように積が定義されている：

積は結合法則を満たし、和に対して分配法則を満たす。
i, j, k は、それぞれ自乗すると -1 になる：
i² = j² = k² = -1 。
ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j, ijk = jki = kij = -1 。

3 番目の条件から、交換法則が成立しないことがわかる。しかし、0 以外の元は積の逆元をもつ。すなわち、四元数全体の成す集合 H は非可換体（または斜体、可除環）である。H を（ハミルトンの）四元数体と呼ぶ。

四元数 q = x + yi + zj + wk に対して、x を q の実部あるいは実数部分、y, z, w を q の虚部、yi + zj + wk を q の虚数部分と呼ぶ。

四元数 q = x + yi + zj + wk に対して、

$\bar{\mathbf{q}} = x - yi - zj -wk$

と表される四元数 q を、四元数 q の（四元数としての）共役あるいは共役四元数であるという。四元数 q のノルム N(q) および絶対値 |q| がそれぞれ、

$N(\mathbf{q}) = \mathbf{q}\bar{\mathbf{q}} = x^2 + y^2 + z^2 + w^2$

および、

$|\mathbf{q}| = \sqrt{N(\mathbf{q})} = \sqrt{x^2+y^2+z^2+w^2}$

として定義される。

四元数の模型

四元数体 H は実数体 R 上の 4 次全行列環 M₄(R) あるいは複素数体 C 上の 2 次全行列環 M₂(C) の部分体にモデル（模型）を持つ。すなわち、これらの行列環の部分体に H に同型なものが存在する。

C 上の 2 次行列環における実現は次のようにする。まず α = x + yi ∈ C を、四元数 x + yi + zj + wk で z = w = 0 とおいたものと思うと、加群として H = C + Cj と分解される。この和は加群の直和である。つまり H は C 上の 2 次のベクトル空間になっている。ここで特に H の積構造は j α = αj が成り立つということに気をつければあとは分配法則と C における積から決まってしまう。ただし、α は α の共役複素数である。

ここまでの準備の下、行列環の部分集合として

$\left\{\left. \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha} \end{pmatrix} \,\right|\, \alpha, \beta \in \mathbb{C} \right\}$

を考えればこれが H の模型となることが簡単な計算で確かめられる。あるいは

$1 \leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad i \leftrightarrow \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix},$

$j \leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\quad k \leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

という対応を考えても良いであろう。

R 上の 4 次行列環における実現としては、部分集合

$\left\{\left. \begin{pmatrix} x & -y & -z & -w \\ y & x & -w & z \\ z & w & x & -y \\ w & -z & y & x \end{pmatrix} \,\right|\, x,y,z,w \in \mathbb{R} \right\}$

を考えればよい。この場合、基底の対応は

$1 \leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad i \leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},$

$j \leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad k \leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

となる。

一般化

可換環 R 上の階数 4 の自由加群 Q = R + Ri + Rj + Rk に上で定義した四元数と同様に積を定める。具体的には、基底 {1, i, j, k} の間の積を α, β ∈ R に対し、

i² = α, j² = β, k² = -αβ,

ij = -ji = k, jk = -kj = -βk, ki = -ik = -αj

と定義して、その積を Q 全体に線型に拡張する。

このとき、Q は R 上の多元環になる。Q を一般四元数環　(generalized quaternion) あるいはもっと明示的に、R 上の (α, β) 型四元数環とよぶ。例えば、R が実数体 R であるときの (-1, -1) 型四元数環 Q が最初に定義した四元数体 H である。また例えば、複素数体 C 上で（(-1,-1) 型の）四元数環を考えることもでき、これを H の複素化と呼んで、H_C などと記す。またこの場合は H に含まれる四元数を特に、実四元数（実型の四元数）と呼ぶこともある。

$\mathbb{H}_\mathbb{C} = \mathbb{H} \otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C} = \{\xi + \eta i + \zeta j + \omega k \mid \xi,\,\eta,\,\zeta,\,\omega \in \mathbb{C} \}$

またその場合は四元数 q = x + yi + zj + wk の x にあたる部分を、実部とは呼ばずに q のスカラー部分などと呼んだりする。H_C は実数体 R 上のベクトル空間としては 8 次元ベクトル空間としての構造をもっていることになる。

K が体ならば K 上の四元数環は斜体であるか K 上 2 次の全行列環 M₂(K) に同型である。また、体上の四元数環は巡回多元環の一種である。