全単射

Keywords: 全単射, ブルバキ, 全射, 写像, 単射, 同値関係, 基数, 対称群, 数学, 群論

数学において、全単射（ぜんたんしゃ）あるいは双射（そうしゃ）(bijective function, bijection) とは、写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。

1 定義

1.1 注意

2 性質

3 関連項目

定義

写像 f: A → B に対し、二つの条件

全射性: f(A) = B
単射性: 任意の A の元 a₁, a₂ について、a₁ ≠ a₂ ならば f(a₁) ≠ f(a₂)

がともに成り立つとき、写像 f は全単射 (bijective) であるという。この用語はブルバキによる。

Missing image OntoMap.png Image:ontoMap.png 全射であり単射でない。	Missing image InjMap.png Image:InjMap.png 単射であり全射でない
Missing image BijMap.png Image:BijMap.png 全単射。	Missing image NeitherInnorSurMap.png Image:NeitherInnorSurMap.png 全射でも単射でもない。

注意

同じことを f は一対一上への写像 (one-to-one onto mapping)、一対一対応 (one-to-one correspondence) あるいは単に一対一 (one-to-one) であるともいうが、紛らわしいのでこの百科事典ではこの用語は使用しない。

性質

全単射は逆写像を持つ。実際、f: A → B が全単射であれば、B の任意の元 b に対し、f の全射性から f(a) = b となる a が存在するが、f の単射性からこのような a は b に対してただ一つしかないので、写像 g: B → A; f(a) → a が作れる。
二つの全単射が合成できるならば、その合成写像も全単射である。
- 集合 X 上の全単射全体の成す集合を S_X とすると、S_X は写像の合成に関して群を成す。これを X 上の置換群あるいは対称群と呼ぶ。

集合全体のつくるクラス（類）において、「二つの集合の間に全単射が存在する」という関係は同値関係を定める。この同値関係により集合全体の成すクラスを類別して基数（あるいは濃度）の概念が定義される。すなわち、集合間で全単射が定義可能な場合、それらの集合は基数が等しい。