ピタゴラス数

Keywords: ピタゴラス数, 三平方の定理, 自然数

ピタゴラス数（ピタゴラスすう、pythagorean triple）とは、三平方の定理

x 2 + y 2 = z 2

を満たす自然数の三つ組（x, y, z）のこと。この条件を満たす自然の組は無限にある。例えば

x	y	z
3	4	5
6	8	10
5	12	13
9	12	15
8	15	17
7	24	25
…	…	…

また、任意の奇数と、その数を 2 乗した数を差が 1 になるように分けた 2 数との組は必ずピタゴラス数になる。

3と、この 2 乗である 9 を差が 1 になるように分けた 4 と 5、
5と、この 2 乗である 25 を差が 1 になるように分けた 12 と 13、
7と、この 2 乗である 49 を差が 1 になるように分けた 24 と 25

はそれぞれピタゴラス数となる。

一般解

最大公約数が 1 であるようなピタゴラス数は素あるいは原始的 (primitive) であるという。(x, y, z) がピタゴラス数であり、それらの最大公約数が d である場合に

$x = dx',\,y = dy',\,z = dz'$

と表すと、条件から

d 2 (x') 2 + d 2 (y') 2 = d 2 (z') 2

となり、両辺を d² で割ることにより、(x', y', z') は原始ピタゴラス数になることがわかる。したがって、全てのピタゴラス数は原始ピタゴラス数の定数倍として得られるので、ピタゴラス数の一般解は原始ピタゴラス数の決定に帰着される。原始ピタゴラス数を求める公式はよく知られており、自然数 m, n (m > n) に対して

$\begin{cases} x = m^2 - n^2\\ y = 2mn\\ z = m^2+n^2 \end{cases}$

が原始ピタゴラス数の一般解となる。